Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar yang Sering Muncul dalam Ujian

Turunan fungsi aljabar adalah salah satu konsep penting dalam kalkulus yang digunakan untuk menentukan laju perubahan suatu fungsi terhadap variabelnya. Pemahaman tentang turunan sangat dibutuhkan dalam berbagai bidang, termasuk matematika, fisika, dan ekonomi. Dalam ujian akhir atau ujian masuk perguruan tinggi, soal-soal turunan sering muncul karena menguji kemampuan siswa dalam memahami aturan dasar dan penerapan rumus turunan.

Pengertian Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi aljabar didefinisikan sebagai kecepatan perubahan nilai fungsi terhadap perubahan variabelnya. Secara matematis, jika $ f(x) $ adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka turunan pertamanya, $ f'(x) $, dinyatakan sebagai:

Iklan Google Ads

Jasa Penerbitan Buku ISBN

Penerbitan buku ISBN dengan Layanan Cepat, Harga Murah dan Kerjakan Oleh Tim Profesional

jasapenerbitanbuku.com

$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}
$$

Dalam konteks praktis, turunan membantu kita menentukan gradien garis singgung pada kurva, mencari titik maksimum dan minimum, serta menyelesaikan berbagai masalah optimisasi.

Rumus-Rumus Dasar Turunan Fungsi Aljabar

Berikut beberapa aturan dasar dalam menghitung turunan fungsi aljabar:

1. Turunan dari konstanta: Jika $ f(x) = k $, maka $ f'(x) = 0 $
2. Turunan dari fungsi identitas: Jika $ f(x) = x $, maka $ f'(x) = 1 $
3. Turunan dari fungsi pangkat: Jika $ f(x) = x^n $, maka $ f'(x) = nx^{n-1} $
4. Turunan dari fungsi linear: Jika $ f(x) = ax + b $, maka $ f'(x) = a $
5. Aturan hasil kali: Jika $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, maka $ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) $
6. Aturan hasil bagi: Jika $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, maka $ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)} $

Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar

Soal 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi $ f(x) = (4x^2 – 12x)(x + 2) $.

Penyelesaian:

Gunakan aturan hasil kali:
$$
f(x) = u(x) \cdot v(x)
$$
di mana $ u(x) = 4x^2 – 12x $ dan $ v(x) = x + 2 $. Maka,
$$
u'(x) = 8x – 12, \quad v'(x) = 1
$$
$$
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
$$
$$
= (8x – 12)(x + 2) + (4x^2 – 12x)(1)
$$
$$
= 8x^2 + 16x – 12x – 24 + 4x^2 – 12x
$$
$$
= 12x^2 – 8x – 24
$$

Jawaban: $ f'(x) = 12x^2 – 8x – 24 $

Soal 2

Jika $ f(x) = \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x} + 1 $, tentukan $ f’\left(\frac{1}{2}\right) $.

Penyelesaian:

Ubah bentuk fungsi menjadi pangkat negatif:
$$
f(x) = x^{-2} – x^{-1} + 1
$$
Turunan pertama:
$$
f'(x) = -2x^{-3} + x^{-2}
$$
Substitusi $ x = \frac{1}{2} $:
$$
f’\left(\frac{1}{2}\right) = -2\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}
$$
$$
= -2(2^3) + 2^2 = -16 + 4 = -12
$$

Jawaban: $ f’\left(\frac{1}{2}\right) = -12 $

Soal 3

Tentukan turunan pertama dari $ f(x) = (x – 1)^2(x + 1) $.

Penyelesaian:

Gunakan aturan hasil kali:
$$
f(x) = u(x) \cdot v(x)
$$
di mana $ u(x) = (x – 1)^2 $ dan $ v(x) = x + 1 $. Maka,
$$
u'(x) = 2(x – 1), \quad v'(x) = 1
$$
$$
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
$$
$$
= 2(x – 1)(x + 1) + (x – 1)^2
$$
$$
= 2(x^2 – 1) + x^2 – 2x + 1
$$
$$
= 2x^2 – 2 + x^2 – 2x + 1 = 3x^2 – 2x – 1
$$

Jawaban: $ f'(x) = 3x^2 – 2x – 1 $

Aplikasi Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi aljabar memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan nyata, antara lain:

• Gradien garis singgung: Digunakan untuk menentukan kemiringan garis singgung pada suatu kurva.
• Nilai maksimum dan minimum: Digunakan untuk menentukan titik optimal dalam masalah optimisasi.
• Laju perubahan: Digunakan untuk menghitung kecepatan atau percepatan dalam gerak benda.

Contoh sederhana: Jika sebuah bola dilempar dengan persamaan lintasan $ h(t) = 4t – 2t^2 $, maka kecepatan bola saat t = 1 detik adalah $ h'(t) = 4 – 4t $, sehingga $ h'(1) = 0 $, yang menunjukkan bahwa bola mencapai titik tertinggi.

Tips Menyelesaikan Soal Turunan Fungsi Aljabar

1. Pahami aturan dasar: Pastikan kamu menguasai aturan turunan seperti hasil kali, hasil bagi, dan aturan rantai.
2. Latihan soal: Latih diri dengan berbagai jenis soal agar lebih mahir dalam mengidentifikasi metode penyelesaian.
3. Gunakan notasi yang benar: Gunakan notasi turunan seperti $ f'(x) $ atau $ \frac{dy}{dx} $ sesuai kebutuhan.
4. Periksa jawaban: Setelah menyelesaikan soal, periksa kembali langkah-langkah dan pastikan tidak ada kesalahan dalam penggunaan rumus.

Kesimpulan

Turunan fungsi aljabar adalah bagian penting dari kalkulus yang digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika. Dengan memahami aturan dasar dan latihan rutin, kamu akan lebih mudah menghadapi soal-soal turunan dalam ujian. Selalu ingat untuk memperhatikan detail dalam setiap langkah penyelesaian agar tidak terjadi kesalahan.